Методы разработки математических моделей и вычислительный эксперимент на базе пакета MATLAB

Описание

Курс содержит 15 лекций плюс программное приложение. Тематика лекций разбита на две части. В первой части (лекции №1 — №9) изложены численные методы решения базовых уравнений математической физики в частных производных. Обсуждаются численные методы, освоение которых проводится в среде MATLAB в виде набора вычислительных экспериментов, проведение каждого из которых доступно на персональном компьютере с предустановленным пакетом MATLAB. Первая часть курса завершается контрольной работой, содержащей 90 задач. Во второй части курса (лекции №10 — №15) разбираются оригинальные математические модели: пространственных миграций планктонных организмов, морфогенеза, электромагнитного коллектора, термогеометрической динамики конечного кристаллического образца, турбулентности, идеальной жидкости (дискретный стохастико-детерминированный подход). Разбор математических моделей включает: постановку задачи, приготовление уравнений для вычислительного эксперимента, собственно вычислительный эксперимент в среде MATLAB, а также выводы. В конце книги приведен перечень из 30 тем для самостоятельной работы студентов.

Курс лекций может быть полезен старшекурсникам вузов естественнонаучной ориентации, а также аспирантам, стремящимся приобрести навыки математического моделирования со всем комплексом сопровождения.Методы разработки математических моделей и вычислитель-ный эксперимент на базе пакета MATLAB.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ №1            …7

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ            …7

§1. Методологическое введение…7

§2. Литература по численным методам и среде MATLAB…9

§3. Примеры математических моделей…10

ЛЕКЦИЯ №2…24

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ…24

§1. Постановка задачи Коши…24

§2. Метод Пикара…27

§3. Метод малого параметра…29

§4. Метод ломаных…30

§5. Метод Рунге-Кутта…33

§6. Метод Адамса…41

§7. Решатели дифференциальных уравнений в MATLAB…44

§8. Постановка краевой задачи…48

§9. Метод стрельбы…49

§10. Краевая задача. Разностный метод…52

§11. Краевая задача в среде MATLAB…55

ЛЕКЦИЯ №3…57

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ…57

§1. Введение…57

§2. Точные методы решения…59

§3. Автомодельные решения…62

§4. Разностный метод…65

§5. Невязка…69

§6. Методы составления разностных схем…70

§7. Аппроксимация…75

§8. Устойчивость…77

§9. Метод разделения переменных…82

§10. Операторные неравенства…83

§11. Сходимость…84

ЛЕКЦИЯ №4…86

УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА           …86

§1. Линейное уравнение переноса            …86

§2. Геометрическая интерпретация устойчивости…96

§3. Квазилинейное уравнение…106

ЛЕКЦИЯ №5            …120

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ…120

§1. Одномерные уравнения            …120

§2. Многомерное уравнени…136

ЛЕКЦИЯ №6            …148

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ…148

§1. Счет на установление…148

§2. Прямые методы решения…167

§3. Итерационные методы…174

ЛЕКЦИЯ №7            …182

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ…182

§1. Схема “крест”…182

§2. Неявная схема    …187

§3. Двухслойная акустическая схема…193

§4. Многомерные схемы…202

ЛЕКЦИЯ №8            …214

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ …214

§1. Корректно поставленные задачи…214

§2. Некорректные задачи…231

ЛЕКЦИЯ №9            …254

МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО) …254

§1. Случайные величины…254

§2. Разыгрывание случайной величины…255

§3. Интерполяция…262

§4. Решение линейных алгебраических систем методом Монте-Карло…266

§5. Вычисление интегралов…269

§6. Решение краевых задач 282

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕРИАЛАМ ЛЕКЦИЙ №1 – №9 …288

ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ…300

ЛЕКЦИЯ №10          303

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МИГРАЦИЙ

ПЛАНКТОННЫХ ОРГАНИЗМОВ…303

§1. Введение …303

§2. Динамика преследования-убегания для двух особей: одного

хищника и одной жертвы…306

§3. Кинетические уравнения и гидродинамическое приближение в

описании биоценоза            …308

§4. Преследование-убегание на примере двух видов…311

§5. Преследование-убегание, диффузия и источники…322

§6. “Энергетический” биоценоз…333

§7. Заключение…340

ЛЕКЦИЯ №11…342

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МОРФОГЕНЕЗА…342

§1. Введение…342

§2. Рост отдельной ткани…345

§3. Баланс вещества в пределах растущей ткани            …347

§4. Одномерное приближение…348

§5. Рост одномерной ткани. Вычислительный эксперимент…ё356

§6. Моделирование роста трех связанных одномерных тканей           …366

§7. Заключение…374

ЛЕКЦИЯ 12…375

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТОРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ…375

§1. Введение…375

§2. Постановка задачи…378

§3. Приемник шума…379

§4. Численное решение уравнений приемника шума…381

§5. Коллектор электромагнитной энергии…389

§6. Численное решение уравнений коллектор…391

§7. Источники энергии, отличающиеся от белого шума           …397

§8. Заключение…403

ЛЕКЦИЯ №13…404

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

КОНЕЧНОГО КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА…404

§1. Введение…404

§2. Как возможен конечный кристалл при нулевой температуре? …407

§3. Двухвременной формализм…412

§4. Окрестность нулевой температуры…418

§5. Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции поверхности (100)Pt…423

§6. Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции поверхности (100)W…440

§7. Заключение…472

ЛЕКЦИЯ №14…473

МНОГОМАСШТАБНАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ…473

§1. Введение…473

§2. Исследование потенциала взаимодействия…478

§3. Вывод и решение основного кинетического уравнения…485

§4. Исследование вопроса об измеряемости…492

§5. Пример расчета турбулентного течения жидкости в трубе            …498

§6. Заключение…509

ЛЕКЦИЯ №15…511

ОБ ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ…511

§1. Введение…511

§2. Переход к ансамблю жидких частиц…513

§3. Взаимодействие пары дискретных жидких частиц…516

§4. Взаимодействие в n-кластере…528

§5. Характерные типы движения ансамбля частиц…534

§6. Особенности трехмерного движения ансамбля частиц…606

§7. Заключение…619

ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ…621